ช่วงนี้เป็นโค้งสุดท้ายที่น้อง ๆ หลายคนกำลังอ่านหนังสือเพื่อเตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัยกัน ในบทความนี้ พี่แม็คจะ challenge น้อง ๆ ซึ่งพี่แม็คจะให้น้อง ๆ มาลองดูกันกับข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยที่เคยออกสอบมาแล้วที่อยู่ในระดับง่ายของวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 A-Level กัน ถ้าน้อง ๆ พร้อมแล้ว มาเริ่มกันเล้ยย!

รวมข้อง่าย แนวคณิต 1 A-Level

1. กำหนดให้ $A = \left\{1, 2,\ \{1, 2\},\ \{1, 2, 3\} \right\}$ ข้อใดต่อไปนี้ผิด

1. $\{1, 2\} \in A$
2. $\{1, 2, 3\} \in A$
3. $\{1, 2\} \subset A$
4. $\{1, 2, 3\} \subset A$

2. ให้เอกภพสัมพัทธ์ $U = {2, 3, 4}$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $\exists x \left[ x+1 \leq 5 \leftrightarrow 2x > 1 \right]$
ข. $\forall x \left[ x^2>1 \right] \to \exists x \left[ x-3 > 1 \right]$
ค. $\exists x \left[ x+2 \leq x^2 \to x^2 < 0 \right]$
จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1. ข้อความ ก) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
2. ข้อความ ก) และ ข) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
3. ข้อความ ก) และ ค) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
4. ข้อความ ข) และ ค) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
5. ข้อความ ก) ข) และ ค) มีค่าความจริงเป็นจริง

3. กำหนดให้ $P(x) = ax^5 + bx^3 + cx + d$ เมื่อ $a, b, c, d$ เป็นค่าคงตัว
ถ้า $x-1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $10$ และ $x$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $6$ แล้ว $x+1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $-10$
2. $-6$
3. $2$
4. $4$
5. $6$

4. ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย $f(x) = \sqrt{2-x}$ และ $g(x) = \log_3{(5-x)}$ จะได้ว่า โดเมนของฟังก์ชัน $f \circ g$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1. $(-\infty, 5)$
2. $(-\infty, 2]$
3. $(-3, 2]$
4. $[-4, 5)$
5. $[-4, \infty)$

5. ให้ $P$ เป็นจุดบนวงรี ซึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ $F_{1}(0, -2)$ และ $F_{2}(0, 2)$
ถ้า $PF_{1} = 7$ และ $PF_{2} = 3$ แล้ว สมการวงรีคือข้อใดต่อไปนี้

1. $\displaystyle \frac{x^{2}}{21} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
2. $\displaystyle \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$
3. $\displaystyle \frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
4. $\displaystyle \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
5. $\displaystyle \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

6. จำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $\log_4{x} = \log_9{3}+\log_3{9}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

7. กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม $A$ และ $B$ ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ
ถ้า $2b=3a$ และ $\hat{B} = 2\hat{A}$ แล้ว $\cos A$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

8. กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ซึ่ง $A = [a_{ij}]$ และ $\det(A) = 10$
ถ้า $B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ แล้ว $\det(A+B)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

9. กำหนดรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ มีจุดยอดที่ $A(-2,-4,-4),\ B(0, -2, 0)$ และ $C(0,0,2)$ รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

1. $1$
2. $\sqrt{3}$
3. $2$
4. $2\sqrt{3}$
5. $4\sqrt{3}$

10. ให้ $i^2 = -1$ ค่าของ $i^{101}+i^{101!}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $-2$
2. $2$
3. $1+i$
4. $1-i$
5. $2i$

11. ร้านขายไอศกรีมแห่งหนึ่ง มีไอศกรีม 10 รส โดยมีรสกะทิเป็น 1 ใน 10 รส ในวันเด็ก ร้านนี้ได้แจกไอศกรีมฟรีให้แก่เด็กคนละ 1 ถ้วย ถ้วยละ 2 รส ถ้าสุ่มเด็กที่ได้รับแจกไอศกรีมมาหนึ่งคน ความน่าจะเป็นที่ถ้วยไอศกรีมของเด็กคนนี้ ไม่มีรสกะทิเท่ากับเท่าใด

12. โต้งกู้เงินจากวินเพื่อการลงทุนจำนวน 200,000 บาท โดยโต้งทำสัญญากับวินว่าจะชำระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดในอีก 2 ปีข้างหน้า และวินกำหนดอัตราดอกเบี้ย $2\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี เมื่อครบ 2 ปีตามสัญญา โต้งขอเลื่อนเวลาชำระออกไปอีก 1 ปี โต้งและวินจึงได้ทำสัญญาฉบับใหม่ โดยกำหนดให้เงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดจาก 2 ปีที่ผ่านมาเป็นยอดเงินในสัญญาฉบับใหม่นี้ และปรับอัตราดอกเบี้ยใหม่เป็น $3\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน เมื่อครบกำหนด 1 ปีตามสัญญาฉบับใหม่ โต้งจะต้องชำระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดกี่บาท

1. $200,000(1.02)^{2}(1.015)^{2}$
2. $200,000(1.02)^{2}(1.03)$
3. $200,000(1.02)^{2}(1.03)^{2}$
4. $200,000[(1.02)^{2} + (1.015)^{2}]$
5. $200,000[(1.02)^{2} + (1.03)^{2}]$

13. กำหนดให้กราฟของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ เป็นดังรูป

นักเรียนคนหนึ่งได้สรุปว่า $f$ ต้องเป็นดังข้อความต่อไปนี้
(ก) $f(x)=-x$ เมื่อ $2 < x < 3$
(ข) $f$ เป็นฟังก์ชันลด เมื่อ $0 < x < 2$
(ค) $f$ มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ที่จุด $x=4$
(ง) $f$ มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด $x=1$
จำนวนข้อความที่นักนักเรียนคนนี้สรุปได้อย่างถูกต้อง เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $0$ (ไม่มีข้อความใดถูก)
2. $1$
3. $2$
4. $3$
5. $4$

14. ข้อมูลเชิงปริมาณชุดหนึ่งมีข้อมูลทั้งหมด 21 ตัว และข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยม 1 ค่า เท่านั้น
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก) ถ้าตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว และเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับฐานนิยมแทนที่ข้อมูลที่ตัดออก
แล้วข้อมูลที่ได้จะมีฐานนิยมเท่าเดิม
ข) ถ้าตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว แล้วข้อมูลที่ได้จะมีมัธยฐานมากขึ้น
ค) ถ้าเพิ่มข้อมูลอีก 2 ตัว ที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แล้วข้อมูลที่ได้จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากขึ้น
จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น
5. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น

15. ถ้าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.3 ของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 55 คะแนน มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 คะแนน และทราบพื้นที่ใต้เส้นโค้งดังรูป

แล้ว จำนวนเปอร์เซ็นต์ของนักเรียนที่ได้คะแนนระหว่าง 45 และ 70 คะแนน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $75.00$
2. $76.75$
3. $77.45$
4. $78.50$
5. $79.00$

เฉลย

1. กำหนดให้ $A = \left\{1, 2,\ \{1, 2\},\ \{1, 2, 3\} \right\}$ ข้อใดต่อไปนี้ผิด

1. $\{1, 2\} \in A$
2. $\{1, 2, 3\} \in A$
3. $\{1, 2\} \subset A$
4. $\{1, 2, 3\} \subset A$

(ข้อสอบ PAT1 รอบ ก.ค. 52)

วิธีทำ เมื่อพิจารณาในแต่ละข้อจะพบว่า
ข้อ 1. $\{1, 2\} \in A$ เป็นจริง นั่นคือ สมาชิกตัวที่ 3 ในเซต $A$
ข้อ 2. $\{1, 2, 3\} \in A$ เป็นจริง นั่นคือ สมาชิกตัวที่ 4 ในเซต $A$
ข้อ 3. $\{1, 2\} \subset A$ เป็นจริง เพราะว่า $1$ และ $2$ ต่างเป็นสมาชิกของเซต $A$
ข้อ 4. $\{1, 2, 3\} \subset A$ ไม่เป็นจริง เพราะ $3 \not\in A$

ตอบ ข้อ 4. $\{1, 2, 3\} \subset A$

2. ให้เอกภพสัมพัทธ์ $U = \{2, 3, 4\}$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $\exists x \left[ x+1 \leq 5 \leftrightarrow 2x > 1 \right]$
ข. $\forall x \left[ x^2>1 \right] \to \exists x \left[ x-3 > 1 \right]$
ค. $\exists x \left[ x+2 \leq x^2 \to x^2 < 0 \right]$
จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1. ข้อความ ก) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
2. ข้อความ ก) และ ข) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
3. ข้อความ ก) และ ค) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
4. ข้อความ ข) และ ค) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
5. ข้อความ ก) ข) และ ค) มีค่าความจริงเป็นจริง

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ เม.ย. 64)

วิธีทำ เนื่องจาก $U = \{2, 3, 4\}$ พิจารณาในแต่ละข้อ ดังนี้

ข้อ ก. $\exists x \left[ x+1 \leq 5 \leftrightarrow 2x > 1 \right]$
เนื่องจาก $2 + 1 = 3 \leq 5$ และ $2(2) > 1$ พบว่ามีค่าความจริงเหมือนกัน
ดังนั้น ประพจน์ $\exists x \left[ x+1 \leq 5 \leftrightarrow 2x > 1 \right]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

ข้อ ข. $\forall x \left[ x^2>1 \right] \to \exists x \left[ x-3 > 1 \right]$
เนื่องจาก $x^2 > 1$ เสมอ สำหรับทุก $x \in U$ นั่นคือ $\forall x \left[ x^2>1 \right]$ เป็นจริง
และ $x-3 \leq 1$ สำหรับทุก $x \in U$ นั่นคือ $\exists x \left[ x-3 > 1 \right]$ เป็นเท็จ
ดังนั้น ประพจน์ $\forall x \left[ x^2>1 \right] \to \exists x \left[ x-3 > 1 \right]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ข้อ ค. $\exists x \left[ x+2 \leq x^2 \to x^2 < 0 \right]$
ถ้า $x=2$ จะได้ว่า $2+2 = 4 \leq 4= 2^2$ เป็นจริง แต่ $2^2 = 4 < 0$ เป็นเท็จ ทำให้ข้อความนี้เป็นเท็จ
ถ้า $x=3$ จะได้ว่า $3+2 = 5 \leq 9= 3^2$ เป็นจริง แต่ $3^2 = 9 < 0$ เป็นเท็จ ทำให้ข้อความนี้เป็นเท็จ
ถ้า $x=4$ จะได้ว่า $4+2 = 6 \leq 16 = 4^2$ เป็นจริง แต่ $4^2 = 16 < 0$ เป็นเท็จ ทำให้ข้อความนี้เป็นเท็จ
ดังนั้น ประพจน์ $\exists x \left[ x+2 \leq x^2 \to x^2 < 0 \right]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตอบ ข้อ 1. ข้อความ ก) เท่านั้น ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

3. กำหนดให้ $P(x) = ax^5 + bx^3 + cx + d$ เมื่อ $a, b, c, d$ เป็นค่าคงตัว
ถ้า $x-1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $10$ และ $x$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $6$ แล้ว $x+1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $-10$
2. $-6$
3. $2$
4. $4$
5. $6$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ ธ.ค. 58)

วิธีทำ เนื่องจาก $x-1$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $10$ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ว่า $P(1) = 10$ นั่นคือ $a + b + c + d = 10$
และจาก $x$ หาร $P(x)$ เหลือเศษ $6$ โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ว่า $P(0) = 6$ นั่นคือ $d = 6$
จากทั้ง 2 สมการข้างต้น ทำให้ได้ว่า $a + b + c = 4$

ต่อไปจะหารเศษเหลือจากการหาร $P(x)$ ด้วย $x+1$ ดังนี้
โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ จะได้ว่า เศษเหลือจากการหาร $P(x)$ ด้วย $x+1$ คือ
$P(-1) = -a -b - c +d = -(a+b+c) + d = -(4) + 6 = 2$

ตอบ ข้อ 3. $2$

4. ให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย $f(x) = \sqrt{2-x}$ และ $g(x) = \log_3{(5-x)}$ จะได้ว่า โดเมนของฟังก์ชัน $f \circ g$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1. $(-\infty, 5)$
2. $(-\infty, 2]$
3. $(-3, 2]$
4. $[-4, 5)$
5. $[-4, \infty)$

(ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 รอบ มี.ค. 68)

วิธีทำ หาโดเมนของฟังก์ชัน $g$ ได้ดังนี้
เนื่องจาก $\log_3{u}$ จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ $u > 0$
จะได้ว่า $5-x > 0$ นั่นคือ $x < 5$

ก่อนอื่นจะหาโดเมนของฟังก์ชัน $f \circ g$ ดังนี้
จากฟังก์ชันประกอบ $(f \circ g) (x) = \sqrt{2-\log_3{(5-x)}}$
เนื่องจาก $\sqrt{u}$ จะหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ $u \geq 0$
จะได้ว่า

เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึม $\log_a{x}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม เมื่อ $a > 1$ (นั่นคือ เครื่องหมายของอสมการไม่ต้องกลับด้าน) จะได้ว่า

จากทั้ง 2 เงื่อนไข ทำให้ได้ว่า โดเมนของฟังก์ชัน $f \circ g$ คือ $D_{f \circ g}= [-4, 5)$

ตอบ ข้อ 4. $[-4, 5)$

5. ให้ $P$ เป็นจุดบนวงรี ซึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ $F_{1}(0, -2)$ และ $F_{2}(0, 2)$
ถ้า $PF_{1} = 7$ และ $PF_{2} = 3$ แล้ว สมการวงรีคือข้อใดต่อไปนี้

1. $\displaystyle \frac{x^{2}}{21} + \frac{y^{2}}{25} = 1$
2. $\displaystyle \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$
3. $\displaystyle \frac{x^{2}}{13} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
4. $\displaystyle \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
5. $\displaystyle \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

(ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 รอบ มี.ค. 62)

วิธีทำ เนื่องจาก $PF_1 + PF_2 = 2a$ เมื่อ $2a$ เป็นความยาวแกนเอกบนวงรี
จะได้ว่า $7+3 = 2a$ ทำให้ $2a = 10$ นั่นคือ $a = 5$

และจากโฟกัสอยู่ที่จุด $F_{1}(0, -2)$ และ $F_{2}(0, 2)$ ซึ่งอยู่บนแกน $Y$
จะได้ว่า จุดศูนย์กลาง คือ จุดกึ่งกลางระหว่างจุด $F_1$ และ $F_2$ นั่นคือ จุด $\left( \displaystyle\frac{0+0}{2}, \displaystyle\frac{-2+2}{2} \right) = (0,0)$

เนื่องจาก $c = \sqrt{a^2+b^2}$ เป็นระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดโฟกัส
เมื่อ $2a$ และ $2b$ เป็นความยาวแกนเอกและแกนโทบนวงรี ตามลำดับ จะได้ว่า

เนื่องจากวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(0,0)$ และแกนเอกอยู่บนแกน $Y$ มีสมการรูปมาตรฐานเป็น

เมื่อ $a>b>0$

ทำให้ได้ว่า สมการวงรีนี้เป็น

ตอบ ข้อ 1. $\displaystyle \frac{x^{2}}{21} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

6. จำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องกับสมการ $\log_4{x} = \log_9{3}+\log_3{9}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ ม.ค. 58)

วิธีทำ จากสมการ $\log_4{x} = \log_9{3}+\log_3{9}$ จะได้ว่า

ทำให้ได้ว่า $\displaystyle x = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^5 = 32$

ตอบ $32$

7. กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม $A$ และ $B$ ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ
ถ้า $2b=3a$ และ $\hat{B} = 2\hat{A}$ แล้ว $\cos A$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ ม.ค. 56)

วิธีทำ เนื่องจาก $2b=3a$ จะได้ว่า $\displaystyle\frac{b}{a} = \displaystyle\frac{3}{2}$
จากกฎของไซน์ $\displaystyle\frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle\frac{b}{\sin{B}}$ จะได้ว่า $\displaystyle\frac{b}{a} = \displaystyle\frac{\sin{B}}{\sin{A}}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{\sin{B}}{\sin{A}}$

เนื่องจาก $\hat{B} = 2\hat{A}$ จะได้ว่า $\displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{\sin{2A}}{\sin{A}}$
จากสูตรมุม $2$ เท่า $\sin(2A) = 2 \sin{A}\cos{A}$ จะได้ว่า

ตอบ $0.75$

8. กำหนดให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ซึ่ง $A = [a_{ij}]$ และ $\det(A) = 10$
ถ้า $B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ แล้ว $\det(A+B)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ ม.ค. 58)

วิธีทำ เนื่องจาก $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ และ $B=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2a_{11} & 2a_{12} & 2a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$
จะได้ว่า

เห็นว่า $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+2a_{11} & a_{22}+2a_{12} & a_{23}+2a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{bmatrix} \begin{matrix} \\ R_2+2R_1 \\ 2R_3\end{matrix}$
นั่นคือ เมทริกซ์ $A+B$ เกิดจากการดำเนินการตามแถวขั้นมูลฐานของเมทริกซ์ $A$ ดังนี้
(1) $A+B$ เกิดจากการคูณแถวที่ 1 ของเมทริกซ์ $A$ ด้วย $2$ แล้วไปบวกกับแถวที่ 2
ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์เท่าเดิม
และ (2) $A+B$ เกิดจากการคูณแถวที่ 3 ของเมทริกซ์ $A$ ด้วย $2$
ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์เป็น 2 เท่าจากของเดิม

ดังนั้น $\det(A+B) = 2\det(A) = 2 \times 10 = 20$

ตอบ $20$

9. กำหนดรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ มีจุดยอดที่ $A(-2,-4,-4),\ B(0, -2, 0)$ และ $C(0,0,2)$ รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

1. $1$
2. $\sqrt{3}$
3. $2$
4. $2\sqrt{3}$
5. $4\sqrt{3}$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ เม.ย. 64)

วิธีทำ จากสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $= \displaystyle\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|$ เนื่องจากจุด $A(-2,-2,-4),\ B(0,-2,0)$ และ $C(0,0,2)$ จะได้ว่า
$\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 0-(-2) \\ -2-(-4) \\ 0-(-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$ และ $\overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 0-(-2) \\ 0-(-4) \\ 2-(-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}$
นั่นคือ $\overrightarrow{AB} = 2\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}$ และ $\overrightarrow{AC} = 2\vec{i} + 4\vec{j} + 6\vec{k}$

จะได้ว่า

ดังนั้น $\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2+4^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{3\cdot 16} = 4\sqrt{3}$

เพราะฉะนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $= \displaystyle\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot(4\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$ ตารางหน่วย

ตอบ ข้อ 4. $2\sqrt{3}$

10. ให้ $i^2 = -1$ ค่าของ $i^{101}+i^{101!}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. $-2$
2. $2$
3. $1+i$
4. $1-i$
5. $2i$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ มี.ค. 61)

วิธีทำ เนื่องจาก $i^2 = -1,\ i^3=-i,\ i^4 = 1$ และ $i^5 = i$
นั่นคือ $i^k = i$ เมื่อ $k$ หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ 1, $i^k = -1$ เมื่อ $k$ หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ 2
นั่นคือ $i^k = -i$ เมื่อ $k$ หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ 3, $i^k = 1$ เมื่อ $k$ หารด้วย $4$ ลงตัว

เนื่องจาก $101$ หารด้วย $4$ แล้วเหลือเศษ $1$ จะได้ว่า $i^{101} = i$
และ $101! = 101 \times 100\times 99! = 4\times (25 \times 101 \times 99!)$
นั่นคือ $101!$ หารด้วย $4$ ลงตัว จะได้ว่า จะได้ว่า $i^{101!} = 1$

ดังนั้น $i^{101}+i^{101!} = i+1$

ตอบ ข้อ 3. $1+i$

11. ร้านขายไอศกรีมแห่งหนึ่ง มีไอศกรีม 10 รส โดยมีรสกะทิเป็น 1 ใน 10 รส ในวันเด็ก ร้านนี้ได้แจกไอศกรีมฟรีให้แก่เด็กคนละ 1 ถ้วย ถ้วยละ 2 รส ถ้าสุ่มเด็กที่ได้รับแจกไอศกรีมมาหนึ่งคน ความน่าจะเป็นที่ถ้วยไอศกรีมของเด็กคนนี้ ไม่มีรสกะทิเท่ากับเท่าใด
(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ ม.ค. 58)

วิธีทำ
1. หาจำนวนปริภูมิตัวอย่าง เนื่องจากร้านจะแจกไอศกรีมฟรีให้แก่เด็กคนละ 1 ถ้วย ถ้วยละ 2 รส จากทั้งหมด 10 รส
จะได้ว่า จำนวนวิธีที่เด็กจะได้รับไอศกรีมทั้งหมด $\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{10!}{2!8!} = \displaystyle\frac{10 \times 9 \times 8!}{(2\times 1) \times 8!} = \displaystyle\frac{90}{2} = 45$ วิธี

2. หาจำนวนเหตุการณ์ เนื่องจากร้านจะแจกไอศกรีมฟรีให้แก่เด็กคนละ 1 ถ้วย ถ้วยละ 2 รส
ยกเว้นรสกะทิ ทำให้เหลือไอศกรีมที่เลือกได้ทั้งหมด 9 รส
จะได้ว่า จำนวนวิธีที่เด็กจะได้รับไอศกรีมทั้งหมด $\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \end{pmatrix} = \displaystyle\frac{9!}{2!7!} = \displaystyle\frac{9 \times 8 \times 7!}{(2\times 1) \times 7!} = \displaystyle\frac{72}{2} = 36$ วิธี

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ถ้วยไอศกรีมของเด็กคนหนึ่งจะไม่ได้รับรสกะทิเท่ากับ $\displaystyle\frac{36}{45} = \displaystyle\frac{4}{5} = 0.80$

ตอบ $0.80$

12. โต้งกู้เงินจากวินเพื่อการลงทุนจำนวน 200,000 บาท โดยโต้งทำสัญญากับวินว่าจะชำระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดในอีก 2 ปีข้างหน้า และวินกำหนดอัตราดอกเบี้ย $2\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี เมื่อครบ 2 ปีตามสัญญา โต้งขอเลื่อนเวลาชำระออกไปอีก 1 ปี โต้งและวินจึงได้ทำสัญญาฉบับใหม่ โดยกำหนดให้เงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดจาก 2 ปีที่ผ่านมาเป็นยอดเงินในสัญญาฉบับใหม่นี้ และปรับอัตราดอกเบี้ยใหม่เป็น $3\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน เมื่อครบกำหนด 1 ปีตามสัญญาฉบับใหม่ โต้งจะต้องชำระเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยทั้งหมดกี่บาท

1. $200,000(1.02)^{2}(1.015)^{2}$
2. $200,000(1.02)^{2}(1.03)$
3. $200,000(1.02)^{2}(1.03)^{2}$
4. $200,000[(1.02)^{2} + (1.015)^{2}]$
5. $200,000[(1.02)^{2} + (1.03)^{2}]$

(ข้อสอบ A-Level คณิตศาสตร์ประยุกต์ 1 รอบ มี.ค. 66)

วิธีทำ ในข้อนี้จะสังเกตว่า โต้งได้ทำสัญญากับวิน 2 ครั้ง ดังนี้
การทำสัญญาครั้งที่ 1 ชำระเงินกู้ 200,000 บาท พร้อมดอกเบี้ยอีก 2 ปีข้างหน้า และวินกำหนดอัตราดอกเบี้ย $2\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี
วิธีที่ 1
เมื่อสิ้นปีที่ 1 จะพบว่า เงินที่จะต้องชำระเท่ากับ เงินต้น + ดอกเบี้ย
ในที่นี้ ดอกเบี้ยคิดจาก เงินต้น $\times$ อัตราดอกเบี้ย (ต่องวด) = $200,000(0.02)$
ดังนั้น เงินที่จะต้องชำระเมื่อสิ้นปีที่ 1 เท่ากับ เงินต้น + ดอกเบี้ย = $200,000 + 200,000(0.02) = 200,000(1+0.02) = 200,000(1.02)$ บาท
ต่อมาเมื่อสิ้นปีที่ 2 จะพบว่า เงินที่จะต้องชำระเท่ากับ เงินต้น (ที่เป็นเงินที่ต้องชำระในปีที่ 1) + ดอกเบี้ย ซึ่งสามารถคิดได้ในทำนองเดียวกันกับตอนสิ้นปีที่ 1
โดยเงินต้นในตอนนี้เป็น $200,000(1.02)$ บาท และดอกเบี้ยเท่ากับ $[200,000(1.02)](0.02)$ บาท
ดังนั้น เงินที่จะต้องชำระเมื่อสิ้นปีที่ 2 เท่ากับ เงินต้น + ดอกเบี้ย = $200,000(1.02) + [200,000(1.02)](0.02) = [200,000(1.02)](1+0.02) = 200,000(1.02)^2$ บาท

วิธีที่ 2 (คิดลัด)
สูตรการคิดดอกเบี้ยทบต้น คือ $P(1+r)^n$
เมื่อ $P$ คือ เงินต้น, $r$ คือ อัตราดอกเบี้ย และ $n$ คือ จำนวนครั้งที่คิดดอกเบี้ย
เนื่องจาก โต้งกู้เงิน $P = 200,000$ บาทจากวิน และวินกำหนดอัตราดอกเบี้ย $2\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี และจ่ายเงินเมื่อสิ้นปีที่ 2
เห็นว่า อัตราดอกเบี้ย $r = 2\% = 0.02$ ต่อปี และคิดดอกเบี้ยทั้งหมด $n=2$ ครั้ง
จะได้ว่า เงินที่ต้องชำระเมื่อสิ้นปีที่ 2 เท่ากับ $200,000(1+ 0.02)^2 = 200,000(1.02)^2$ บาท

การทำสัญญาครั้งที่ 2 เงินกู้พร้อมดอกเบี้ยเมื่อสิ้นปีที่ 2 เป็นเงินต้นของสัญญาฉบับนี้ และอัตราดอกเบี้ยใหม่เป็น $3\%$ ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน เป็นระยะเวลา 1 ปี
เนื่องจากการคิดดอกเบี้ยของสัญญาฉบับนี้คิดเป็น 6 เดือน แสดงว่าใน 1 ปี จะต้องคิดดอกเบี้ย $n = 2$ งวด
ทำให้เราต้องคิดอัตราดอกเบี้ยต่อปี เป็นต่องวดก่อน ซึ่งจะได้ $r = \displaystyle\frac{3\%}{2} = 1.5\% = 0.015$ ต่องวด
และจากเงินต้น $P = 200,000(1.02)^2$ บาท (มาจากเงินกู้พร้อมดอกเบี้ยเมื่อสิ้นปีที่ 2)
จะได้ว่า เงินที่ต้องชำระเมื่อสิ้นปีที่ 3 เท่ากับ $[200,000(1.02)^2](1+0.015)^2 = 200,000(1.02)^2(1.015)^2$ บาท

ดังนั้น เงินที่ต้องชำระเมื่อสิ้นสุดสัญญา เท่ากับ $200,000(1.02)^2(1.015)^2$ บาท

ตอบ ข้อ 1. $200,000(1.02)^2(1.015)^2$

13. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f^\prime(x)=2x+1$ ถ้า $h(x)=f(x^2)$ แล้ว $h^\prime(x)$ เท่ากับเท่าใด

1. $4x+2$ (ไม่มีข้อความใดถูก)
2. $2x^2+1$
3. $4x^2+2x$
4. $4x^3+2x$
5. $4x^3+4x$

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ มี.ค. 65)

วิธีทำ เนื่องจาก $f^\prime(x)=2x+1$ จะได้ว่า

เนื่องจาก $h(x)=f(x^2)$ ทำให้ได้ว่า $h(x) = (x^2)^2+ (x^2) +c = x^4 + x^2 + c$
ดังนั้น $h^\prime(x) = 4x^3 + 2x$

ตอบ ข้อ 4. $4x^3+2x$

14. ข้อมูลเชิงปริมาณชุดหนึ่งมีข้อมูลทั้งหมด 21 ตัว และข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยม 1 ค่า เท่านั้น
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก) ถ้าตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว และเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับฐานนิยมแทนที่ข้อมูลที่ตัดออก
แล้วข้อมูลที่ได้จะมีฐานนิยมเท่าเดิม
ข) ถ้าตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว แล้วข้อมูลที่ได้จะมีมัธยฐานมากขึ้น
ค) ถ้าเพิ่มข้อมูลอีก 2 ตัว ที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แล้วข้อมูลที่ได้จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากขึ้น
จากข้อความ ก) ข) และ ค) ข้างต้น ข้อใดถูกต้อง

1. ข้อความ ก) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
2. ข้อความ ข) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
3. ข้อความ ค) ถูกต้องเพียงข้อเดียวเท่านั้น
4. ข้อความ ก) และ ข) ถูกต้องเท่านั้น
5. ข้อความ ก) และ ค) ถูกต้องเท่านั้น

(ข้อสอบ วิชาสามัญคณิตศาสตร์ 1 รอบ เม.ย. 64)

วิธีทำ ให้ $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_{21}$ เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามากทั้งหมด $21$ ตัว
และสมมติ ข้อมูล $X$ เป็นฐานนิยมที่ซ้ำกัน $k$ ตัว เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ $2 \leq k \leq 21$

เมื่อพิจารณาในแต่ละข้อจะพบว่า

ข้อ ก. ถ้าตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว และเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับฐานนิยมแทนที่ข้อมูลที่ตัดออก แล้วข้อมูลที่ได้จะมีฐานนิยมเท่าเดิม
เมื่อตัดข้อมูลตัวน้อยสุดออก จะแบ่งได้เป็น 2 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 ข้อมูลตัวที่ตัดออกไม่เป็นฐานนิยม
จาก $x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots,\ \underbrace{X, \ldots,X}_{k \text{ ตัว}},\ \ldots,\ x_{21}$
เมื่อเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับฐานนิยมแทนที่ข้อมูลที่ตัดออกและเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก พบว่า ข้อมูลชุดใหม่เป็น
$x_2,\ x_3,\ \ldots,\ \underbrace{X, X, \ldots,X}_{k+1 \text{ ตัว}},\ \ldots,\ x_{21}$

กรณีที่ 2 ข้อมูลตัวที่ตัดออกเป็นฐานนิยม
จาก $\underbrace{X,\ X,\ \ldots,\ X}_{k \text{ ตัว}},\ x_{k+1},\ x_{k+2},\ \ldots,\ x_{21}$ เป็นข้อมูล $21$ ตัว
เมื่อตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว จะได้ข้อมูลเป็น $\underbrace{X,\ \ldots,\ X}_{k-1 \text{ ตัว}},\ x_{k+1},\ x_{k+2},\ \ldots,\ x_{21}$ ซึ่งมี $20$ ตัว
และเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับฐานนิยมแทนที่ข้อมูลที่ตัดออกและเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก พบว่า ข้อมูลชุดใหม่เป็น
$\underbrace{X,\ X,\ \ldots,\ X}_{k \text{ ตัว}},\ x_{k+1},\ x_{k+2},\ \ldots,\ x_{21}$
นั่นคือ ข้อมูลชุดเดิมจากตอนแรก

จากทั้ง 2 กรณี จะได้ว่า ข้อมูลที่ได้จะมีฐานนิยมเท่าเดิม
ดังนั้นข้อ ก. เป็นจริง

ข้อ ข. ถ้าตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว แล้วข้อมูลที่ได้จะมีมัธยฐานมากขึ้น
เนื่องจากตำแหน่งของมัธยฐานของข้อมูล $21$ ตัว คือ ตำแหน่งที่ $\displaystyle\frac{21+1}{2} = \displaystyle\frac{22}{2} = 11$
ดังนั้น มัธยฐานของข้อมูล $x_1,\ x_2,\ x_3,\ \ldots,\ x_{21}$ คือ $x_{11}$
เมื่อตัดข้อมูลที่มีค่าน้อยที่สุดออก 1 ตัว จะทำให้เหลือข้อมูล $20$ ตัว
ทำให้ตำแหน่งของมัธยฐานคือ ตำแหน่งที่ $\displaystyle\frac{20+1}{2} = \displaystyle\frac{21}{2} = 10.5$
ดังนั้น มัธยฐานของข้อมูล $x_2,\ x_3,\ \ldots,\ x_{21}$ คือ $\displaystyle\frac{x_{10}+x_{11}}{2}$
เนื่องจาก $x_{10} \leq x_{11}$ จะได้ว่า มัธยฐาน เท่ากับ $\displaystyle\frac{x_{10}+x_{11}}{2} \leq \displaystyle\frac{x_{11}+x_{11}}{2} = x_{11}$
นั่นคือ ข้อมูลที่ได้จะมีมัธยฐานน้อยลง
ดังนั้นข้อ ข. เป็นเท็จ

ข้อ ค. ถ้าเพิ่มข้อมูลอีก 2 ตัว ที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต แล้วข้อมูลที่ได้จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตมากขึ้น
ให้ $\bar{x} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum x}{21}$ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล $21$ ตัว
จะได้ว่า ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด เท่ากับ $\sum x = 21 \bar{x}$
เมื่อเพิ่มข้อมูลอีก 2 ตัว ที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นคือ เพิ่มข้อมูล $\bar{x}$ จำนวน $2$ ครั้ง และทำให้ข้อมูลชุดใหม่มีข้อมูล $21+2 = 23$ ตัว
ให้ $\bar{y}$ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่
จะได้ว่า ผลรวมของข้อมูลชุดใหม่เป็น $\sum y = 21 \bar{x} + \bar{x} + \bar{x} = 23\bar{x}$
ทำให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ $\bar{y} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum y}{23} = \displaystyle\frac{\displaystyle23\bar{x}}{23} = \bar{x}$
นั่นคือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดใหม่จะเท่ากับชุดเดิม
ดังนั้นข้อ ค. เป็นเท็จ